Question

17．某甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為$\frac{1}{2}$，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨(dú)立地射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ，且ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{4}{3}$，η表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對(duì)值．
（1）求s的值及η的分布列，
（2）求η的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）依題意知ξ∽B（2，s），由Eξ=2s=$\frac{4}{3}$，得s=$\frac{2}{3}$，η的取值可以是0，1，2，分別求出相的應(yīng)的概率，由此能求出η的分布列．
（2）由η的分布列，能求出η的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意知ξ∽B（2，s），故Eξ=2s=$\frac{4}{3}$，∴s=$\frac{2}{3}$，（2分）．
η的取值可以是0，1，2
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是$（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{1}{36}$，
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$，
甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{2}{3}）=\frac{1}{9}$，
∴P（η=0）=$\frac{1}{36}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$，（4分）
甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）=\frac{1}{36}$，
甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是$（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}）（\frac{2}{3}×\frac{2}{3}）=\frac{1}{9}$．
∴P（η=2）=$\frac{1}{36}+\frac{1}{9}$=$\frac{5}{36}$，（6分）
∴P（η=1）=1-P（η=0）-P（η=2）=1-$\frac{13}{36}-\frac{5}{36}$=$\frac{1}{2}$，（7分）
故η的分布列是：

η	0	1	2
P	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{36}$

（8分）
（2）Eη=$0×\frac{13}{36}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{5}{36}$=$\frac{7}{9}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．