Question

（本小題滿分14分）

設函數．

（1）若函數在上為減函數，求實數的最小值；

（2）若存在，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）若函數在上為減函數，則對任意的恒成立，又即對任意的恒成立；（2）“若存在使成立”等價于

“當時，有，分別求出相應的最值后分<兩種情況進行分類討論，當時，可得=，故．當<時不存在；當然本題也可用分離參數.

試題解析：（1）由已知得x＞0，x≠1．

因f （x）在上為減函數，故在上恒成立． 1分

所以當時，．

又， 2分

故當，即時，．

所以于是，故a的最小值為． 4分

（2）命題“若存在使成立”等價于

“當時，有”． 5分

由（Ⅰ），當時，，．

問題等價于：“當時，有”． 6分

①當時，由（1），在上為減函數，

則=，故． 8分

②當<時，由于在上的值域為

（ⅰ），即，在恒成立，故在上為增函數，

于是，，矛盾． 10分

（ⅱ），即，由的單調性和值域知，

存在唯一，使，且滿足：

當時，，為減函數；當時，，為增函數；

所以，， 12分

所以，，與矛盾． 13分

綜上，得 14分

考點：函數與導數的綜合應用