Question

9．設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），若對任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，則（　�。�

• A． f（ln2016）＜2016f（0）
• B． f（ln2016）=2016f（0）
• C． f（ln2016）＞2016f（0）
• D． f（ln2016）與2016f（0）的大小關系不能確定

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性可得g（ln2016）與g（0）的大小關系，整理即可得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因為對任意x∈R都有f′（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，即g（x）在R上單調(diào)遞增，
又ln2016＞0，所以g（ln2016）＞g（0），
即 $\frac{f（ln2016）}{{e}^{ln2016}}$＞$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
所以 f（ln2016）＞2016f（0），
故選：C．

點評 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．