Question

20．如圖，圓內接四邊形ABCD的邊BC與AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上．
（1）若EF∥CD，證明：EF²=FA•FB；
（2）若EB=3EC，EA=2ED，求$\frac{DC}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）求證出△FAE∽△FEB，從而有$\frac{FA}{FE}=\frac{FE}{FB}$，從而得出EF²=FA•FB；
（2）根據割線定理得出$\frac{EC}{ED}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，證出△ECD∽△EAB，根據三角形內線段的對應關系求出$\frac{DC}{AB}$的值．

解答 解：（1）因為四邊形ABCD內接于圓，有∠B=∠CDE，
又EF∥CD，所以∠CDE=∠FEA．
因此，∠B=∠FEA．
而∠F為公共角，
所以△FAE∽△FEB，
于是，$\frac{FA}{FE}=\frac{FE}{FB}$，即EF²=FA•FB．
（2）由割線定理，ED•EA=EC•EB，即ED•2ED=EC•3EC
所以$\frac{E{C}^{2}}{E{D}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{EC}{ED}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因為∠B=∠CDE，∠CED時公共角，有△ECD∽△EAB．
于是，$\frac{DC}{AB}$=$\frac{EC}{EA}$=$\frac{EC}{2ED}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了圓的內接四邊形的性質和切割線定理的運用，考查了相似三角形的判定和性質，考查了推理和運算能力，屬于中檔題．