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5.在銳角△ABC中,BC=1,B=3A,則AC的取值范圍是(1,22-1).

分析 根據(jù)正弦定理和B=3A及三倍角的正弦公式化簡(jiǎn)得到AC=4cos22A-1,要求AC的范圍,只需找出3-4sin2A,的范圍即可,根據(jù)銳角△ABC和B=3A求出A的范圍,然后根據(jù)余弦函數(shù)的增減性得到cos2A的范圍即可.

解答 解:由正弦定理ACBC=sinBsinA=sin3AsinA=sinA+2AsinA=cos2A+2cos2A=4cos2A-1.
△ABC是銳角三角形,
∴B<0,即3A<90°,
因此,A<30°;
在三角形中兩角之和(A+B)<180°,即4A<180°,
∴A<45;
∵C<90°,
∴A+B>90°,即4A>90°,
∴A>22.5°,
因此,22.5°<A<30°,
∴45°<2A<60°,
2212cos2A<22
∴1<4cos22A-1<22-1,
∴AC的取值范圍為(1,22-1).

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理,以及二倍角的正弦公式及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)求值,本題的突破點(diǎn)是根據(jù)三角形為銳角三角形、內(nèi)角和定理及B=3A變換角得到角的范圍.

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