Question

已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B分別是橢圓長軸的兩個端點，M、N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂，若|k₁•k₂|=

1

4

，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），則k₁=

y0

x0+a

，k₂=

y0

a-x0

，利用|k₁•k₂|=

1

4

可求得

b2

a2

=

1

4

，從而可求得該橢圓的離心率．

解答： 解：設M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），

∵A（-a，0），B（a，0），
∴|k₁•k₂|=|

y0

x0+a

•

y0

a-x0

|=

y02

a2-x02

=

b2(1- x02 a2 )

a2-x02

=

b2

a2

=

1

4

，
∴4b²=4（a²-c²）=a²，即3a²=4c²，
∴e=

c

a

=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．