Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）某學(xué)校餐廳為了保證每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一都提供有A、B兩種菜可供學(xué)生選擇（每個學(xué)生都將從二種中選一種），經(jīng)調(diào)查，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A．用a_n、b_n分別表示在第n個星期一選A、B菜的人數(shù)（a₁、b₁表示本周星期一選A菜人數(shù)），若a₁=200．
（1）試以a_n表示a_n+1；
（2）證明：{a_n}的通項公式是an=(-400)•(

1

2

)n-1+600；
（3）試問從第幾個星期一開始，選A人數(shù)超過選B的人數(shù)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，結(jié)合a_n+b_n=1000，即可以a_n表示a_n+1；
（2）確定{a_n-600}可以看成是首項為-400，公比為

1

2

的等比數(shù)列，即可證得結(jié)論；
（3）由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500，結(jié)合（2）的結(jié)論，即可求出結(jié)論．

解答：（1）解：由題可知，∵在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，
∴a_n+1=a_n•（1-0.2）+0.3•b_n，
又a_n+b_n=1000，所以整理得：an+1=

1

2

an+300…（4分）
（2）證明：∵a₁=200，且an+1=

1

2

an+300
∴an+1-600=

1

2

(an-600)
即{a_n-600}可以看成是首項為-400，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴an=(-400)•(

1

2

)n-1+600…（9分）
（3）解：由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500
又an=(-400)•(

1

2

)n-1+600，∴(

1

2

)n-1＜

1

4

，即 n＞3
答：從第4個星期一開始，選A人數(shù)超過選B人數(shù)．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查求數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列遞推式，從而確定數(shù)列的通項．