Question

如圖，已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓C于點(diǎn)D，且

BF

=3

FD

，則橢圓C的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓的性質(zhì)求出|BF|的值，利用已知的向量間的關(guān)系、三角形相似求出D的橫坐標(biāo)，再由橢圓的第二定義求出|

FD

|的值，又由

BF

=3

FD

建立關(guān)于a、c的方程，解方程求出

c

a

的值．

解答： 解：如圖，BF=

b2+c2

=a，
作DD₁⊥y軸于點(diǎn)D₁，則由

BF

=3

FD

得：

| OF |

| DD1 |

=

| BF |

| BD |

=

3

4

，
所以，|

DD1

|=

4

3

|

OF

|=

4

3

c，
即x_D=

4

3

c，
由橢圓的第二定義得|

FD

|=e（

a2

c

-

4

3

c）=a-

4c2

3a

，
又由|

BF

|=3|

FD

|，得a=3（a-

4c2

3a

），a²=2c²，解得e=

c

a

=

2

2

，
故答案為：

2

2

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化問題的捷徑．