Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）≤a對(duì)x∈[1，+∞]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=lnx-x，得f′（x）=

1

x

-1；令f′（x）=0，解得：x=1．從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到f（x）的極大值f（1）=-1．
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），再分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)的情況，從而綜合得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx-x，
∴f′（x）=

1

x

-1；
令f′（x）=0，
解得：x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）的極大值f（1）=-1．
（2）f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，x∈[1，+∞），
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)，即f（x）≤f（1）=-1，
∴-1≤a≤0；
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
（ⅰ）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，在x∈[1，+∞）時(shí)f（x）是減函數(shù)，即f（x）≤f（1）=-1，
∴0＜a≤1；
（ⅱ） 當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x∈（1，a）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）是減函數(shù)．
∴f（x）≤f（a）=alna-a，
即alna-a≤a，
∴1＜a≤e²，
綜上：-1≤a≤e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問(wèn)題，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，滲透了分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．