Question

設集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：①對任意n∈N⁺，

an+an+2

2

≤a_n+1，恒成立；②對任意n∈N⁺，存在與n無關的常數(shù)M，使a_n≤M恒成立．
（Ⅰ）若{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，且a₃=4，S₃=18，試探究數(shù)列{S_n}與集合W之間的關系；
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由已知a₃=4，S₃=18再根據a_n=a₁+（n-1）d，sn=na1+

n(n-1)

2

d可求出a₁、d及S_n，然后根據等差數(shù)列的求和公式求出s_n，比較得

Sn+Sn+2

2

-sn+1的正負，看是否符合條件①；再由S_n的公式判斷是否符合條件②；若都否和，則{S_n}∈W．
（Ⅱ）首先根據已知條件{b_n}∈W知{b_n}符合條件②，故必須求出{b_n}的最大值，因而由b_n+1-b_n=5（n+1）-2n+1-5n+=5-2n，當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數(shù)列{b_n}單調遞減，當n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，b₁＜b₂＜b₃，因此可以得出數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7，進而可知M≥7．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差是d，則

a1+2d=4 3a1+3d=18

，解得

a1=8 d=-2

，（2分）
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=-n²+9n，
∴

Sn+Sn+2

2

-S_n+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1-Sn)

2

=

an+2-an+1

2

=

d

2

=-1＜0
∴得

Sn+Sn+2

2

＜S_n+1，適合條件①．（5分）
又S_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
∴所以當n=4或n=5時，S_n取得最大值20，即S_n≤20，適合條件②．（7分）
綜上，{S_n}∈W．（8分）
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=5（n+1）-2ⁿ⁺¹-5n+=5-2ⁿ，
∴當n≥3時，b_n+1-b_n＜0，此時數(shù)列{b_n}單調遞減；（11分）
當n=1，2時，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，（12分）
因此數(shù)列{b_n}中的最大項是b₃=7，（13分）
∴M≥7，即M的取值范圍是[7，+∞）．（14分）

點評：本題主要考等差數(shù)列的公式及等差數(shù)列和的公式的應用以及集合之間的關系和最值問題，屬于中檔題．