Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+a）-4x²-2x在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=ln（2x+a）-4x²-2x，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表達(dá)式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）f（x）=ln（2x+1）-4x²-2x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=$\frac{1}{n}$，可以得到ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，利用此不等式進(jìn)行放縮證明．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln（2x+a）-4x²-2x
f′（x）=2（$\frac{1}{2x+a}$-2x-1），
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f′（0）=0                                    
故$\frac{1}{a}$-2×0-1=0，
解得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意，
則實(shí)數(shù)a的值為1，
∴f（x）=ln（2x+1）-4x²-2x，（x＞-$\frac{1}{2}$），
f′（x）=2（$\frac{1}{2x+1}$-2x-1）=$\frac{-8x（x+1）}{2x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）遞增，在（0，+∞）遞減；
（2）f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-$\frac{1}{2}$}，
由（1）得：f（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）遞增，在（0，+∞）遞減，
∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）-4x²-2x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）
對(duì)任意正整數(shù)n，取2x=$\frac{1}{n}$＞0得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴l(xiāng)n（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
故2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第二問難度比較大，利用了前一問的結(jié)論進(jìn)行證明，此題是一道中檔題．