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12.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-t|(t∈R)
(1)t=2時,求不等式f(x)>2的解集;
(2)若對于任意的t∈[1,2],x∈[-1,3],f(x)≥a+x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)通過討論x的范圍,去掉絕對值解關(guān)于x的不等式,求出不等式的解集即可;
(2)問題等價于a≤f(x)-x,令g(x)=f(x)-x,求出g(x)的最小值,從而求出a的范圍即可.

解答 解:(1)當(dāng)t=2時,f(x)=|x-1|+|x-2|,
若x≤1,則f(x)=3-2x,于是由f(x)>2,解得x<12,綜合得x<12;
若1<x<2,則f(x)=1,顯然f(x)>2不成立;
若x≥2,則f(x)=2x-3,于是由f(x)>2,解得x>52,綜合得x>52
∴不等式f(x)>2的解集為{x|x<12,或x>52}.  
(2)f(x)≥a+x等價于a≤f(x)-x,令g(x)=f(x)-x,
當(dāng)-1≤x≤1時,g(x)=1+t-3x,顯然g(x)min=g(1)=t-2,
當(dāng)1<x<t時,g(x)=t-1-x,此時g(x)>g(1)=t-2,
當(dāng)t≤x≤3時,g(x)=x-t-1,g(x)min=g(1)=t-2,
∴當(dāng)x∈[1,3]時,g(x)min=t-2,
又∵t∈[1,2],
∴g(x)min≤-1,即a≤-1,
綜上,a的取值范圍是a≤-1.

點評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查函數(shù)最值問題,考查分類討論思想,是一道中檔題.

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