Question

我校高一年級研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生．在研究學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結(jié)題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發(fā)言．設(shè)每人每次被選中與否均互不影響．
（Ⅰ）求兩次匯報活動都由小組成員甲發(fā)言的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）由每人每次被選中與否均互不影響知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率．事件包含第一次匯報由甲發(fā)言且第二次回報也由乙發(fā)言，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知ξ為男生發(fā)言次數(shù)與女生發(fā)言次數(shù)之差的絕對值，當都是男生或都是女生發(fā)言時，變量是2，當女生和男生各有一個人時，變量是0，根據(jù)變量的意義求出概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）解：由每人每次被選中與否均互不影響知本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率．
記“2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言”為事件A．
事件A包含第一次匯報由甲發(fā)言且第二次回報也由乙發(fā)言，
由題意得事件A的概率P（A）=

1

9

×

1

9

=

1

81

，
即2次匯報活動都是由小組成員甲發(fā)言的概率為

1

81

．

（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2，0，
∵每次匯報時，男生被選為代表的概率為

3

9

=

1

3

，女生被選為代表的概率為1-

1

3

=

2

3

．
P（ξ=2）=

C

0 2

(

1

3

)2(1-

1

3

)0+

C

2 2

(

1

3

)0(1-

1

3

)2=

5

9

；
P（ξ=0）=

C

1 2

(

1

3

)1(1-

1

3

)1=

4

9

；
∴ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=2×

5

9

+0×

4

9

=

10

9

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．