已知曲線C是中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支,它的右準(zhǔn)線方程l:x=,l與x軸交于E,一條漸近線方程是y=x,線段PQ是過曲線C右焦點(diǎn)F的一條弦.
(1)求曲線C的方程;
(2)若R為PQ中點(diǎn),且在直線l的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足=0,當(dāng)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求a的取值范圍;
(3)若過P作PM∥x軸交l于M,連MQ交x軸于H,求證H平分EF.
(1)x2-=1 (x≥1) 4分 (2)·=0即PS⊥QS,|RS|=|PQ| 6分 2[-a]=e(x1-)+e(x2-) x1+x2=2-2a,又x1+x2≥4 ∴a≤-1 10分 (3)PQ⊥x軸時(shí),P(2,3)Q(2,-3) M(,3) MQ方程y=-4x+5 令y=0,xH==(xE+xF) 12分 PQ不垂直于x軸時(shí),M(,y1) Q(x2,y2) P(x1,y1) PQ方程 (3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0
MQ方程y-y1=(x-) 令y=0 14分 即證: 展開得 即證:5(x1+x2)-4x1x2-4=0 將代入恒成立 即MQ恒過(,0)點(diǎn),即H為EF的中點(diǎn) 綜上獲證 16分 |
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