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14.已知冪函數(shù)fx=m2+m1x2m2+m+3在(0,+∞)上為增函數(shù),g(x)=-x2+2|x|+t,h(x)=2x-2-x
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)對于任意x∈[1,2],都存在x1,x2∈[1,2],使得f(x)≤f(x1),g(x)≤g(x2),若f(x1)=g(x2),求實數(shù)t的值;
(3)若2xh(2x)+λh(x)≥0對于一切x∈[1,2]成成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

分析 (1)由冪函數(shù)的定義得:m=-2,或m=1,由f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),得到m=1,由此能求出f(x).
(2)g(x)=-x2+2|x|+t,據(jù)題意知,當x∈[1,2]時,fmax(x)=f(x1),gmax(x)=g(x2),由此能求出t.
(3)當x∈[1,2]時,2xh(2x)+λh(x)≥0等價于λ(22x-1)≥-(24x-1),由此能求出λ的取值范圍.

解答 (本小題滿分10分)
解:(1)由冪函數(shù)的定義可知:m2+m-1=1   即m2+m-2=0,
解得:m=-2,或m=1,
∵f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴-2m2+m+3>0,解得-1<m<32
綜上:m=1
∴f(x)=x2…(4分)
(2)g(x)=-x2+2|x|+t
據(jù)題意知,當x∈[1,2]時,fmax(x)=f(x1),gmax(x)=g(x2
∵f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,
∴fmax(x)=f(2)=4,即f(x1)=4
又∵g(x)=-x2+2|x|+t=-x2+2x+t=-(x-1)2+1+t
∴函數(shù)g(x)的對稱軸為x=1,∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,
∴gmax(x)=g(1)=1+t,即g(x2)=1+t,
由f(x1)=g(x2),得1+t=4,∴t=3…(8分)
(3)當x∈[1,2]時,2xh(2x)+λh(x)≥0等價于2x(22x-2-2x)+λ(2x-2-x)≥0
即λ(22x-1)≥-(24x-1),∵22x-1>0,∴λ≥-(22x+1)
令k(x)=-(22x+1),x∈[1,2],下面求k(x)的最大值;
∵x∈[1,2]∴-(22x+1)∈[-17,-5∴kmax(x)=-5
故λ的取值范圍是[-5,+∞) …(12分)

點評 本題考查函數(shù)解析式的求法,考查實數(shù)值、取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意冪函數(shù)性質(zhì)的合理運用.

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