Question

下列函數中，與函數y=x³的奇偶性、單調性均相同的是（　�。�

• A、y=e^x
• B、y=2^x-

  1

  2x

• C、y=ln|x|
• D、y=tanx

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：先證明函數y=x³為R上奇函數、增函數，再逐一判斷4個函數的奇偶性和單調性即可．

解答： 解：函數y=x³是R上增函數，函數f（x）為奇函數證明如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x22+x1x2）=

1

2

（x1-x2）[（x1+x2）2+x12+x22]；
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁，x₂不全為0，（x1+x2）2+x12+x22＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=x³是R上的增函數．
又∵f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數
A，-f（x）=-e^x，而f（-x）=e^-x=

1

ex

，故不是奇函數，不相同．
B，f（-x）=2-x-

1

2-x

=-（2^x-

1

2x

）=-f（x）故為奇函數，
在R上任取x₁＜x₂有，又∵y=2^x是R上的增函數，x₁＜x₂，故有2x2＞2x1，

1

2x1

＞

1

2x2

，
故有，2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=2x2-2x1+

1

2x1

-

1

2x2

＞0
即f（x）在R上是增函數，故相同．
C，f（-x）=ln|-x|=ln|x|=f（x），故為偶函數，不相同．
D，f（-x）=tan（-x）=-tanx=-f（x），為奇函數，但是由y=tanx的圖象可知，在R上不是增函數，不相同．
綜上所述，與函數y=x³的奇偶性、單調性均相同的是B．
故選：B．

點評：本題主要考察函數奇偶性的判斷和函數單調性的判斷與證明，屬于中檔題．