已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=1，且（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
3
4
．
（1）求|
b
|；            
（2）當(dāng)
a
•
b
=-
1
4
時，求向量
a
與
a
+2
b
的夾角θ的值．
分析：（1）由（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
3
4
可得
a
2-
b
2=
3
4
，再由|
a
|=1求得|
b
|2=|，從而求得|
b
|．
（2）由
a
•
b
=-
1
4
求得|
a
+2
b
|=1，再求得
a
•（
a
+2
b
）=1，利用兩個向量的夾角公式求得cosθ的值，即可求得θ的值．
解答：解：（1）因?yàn)椋?span id="mga4cws" class="MathJye">
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
3
4
，即
a
2-
b
2=
3
4
，所以，|
b
|2=|
a
|2-
3
4
=1-
3
4
=
1
4
，故|
b
|=
1
2
．…（4分）
（2）因?yàn)閨
a
+2
b
|2 =|
a
|2+4
a
•
b
+|2
b
|2=1-1+1=1，故|
a
+2
b
|=1．      …（6分）
又因?yàn)?span id="wq6umqi" class="MathJye">
a
•（
a
+2
b
）=|
a
|2+2
a
•
b
=1-
1
2
=
1
2
，…（8分）
∴cos θ=
a•(a+2b)
|a||a+2b|
=
1
2
，…（10分）
又0°≤θ≤180°，故θ=60°．…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求證：
a
⊥
b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
a
、
b
滿足|
a
+
b
|=|
b
|，
①若
a
、
b
共線，則
a
=-2
b
；
②若
a
、
b
不共線，則以|
a
|、|
a
+2
b
|、2|
b
|為邊長的三角形為直角三角形；
③2|
b
|＞|
a
+2
b
|； ④2|
b
|＜|
a
+2
b
|．
其中正確的命題序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•鷹潭一模）已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
+
b
|=|
a
-
b
|=
2
3
3
|
a
|，則
a
+
b
與
a
-
b
的夾角為
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•杭州模擬）已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=1，|
a
-
b
|=
3
，
a
與
b
的夾角為120°，則|
b
|=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•珠海二模）已知非零向量
a
，
b
滿足
a
⊥
b
，則函數(shù)f(x)=(
a
x+
b
)2(x∈R)是（　�。�

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