已知空間四點A、B、C、D和兩平面M、N，又知A、B、C、D在M內(nèi)的射影A1B1C1D1是一條直線，在N內(nèi)的射影A2B2C2D2是一個平行四邊形，求證ABCD是一個平行四邊形．

證明：（1）先證A、B、C、D四點共面
設通過直線A1B1C1D1而垂直于平面M的平面為P
則因AA1⊥平面M，而A1又在直線A1B1C1D1上，
所以點A在平面P內(nèi)，同理點B、C、D均在平面P內(nèi)，
即A、B、C、D四點共面
（2）證ABCD是一個平行四邊形
若AB與DC相交于E，
則其在平面N內(nèi)的射影A2B2與D2C2也相交于E2，
此與A2B2∥D2C2的假設相違，所以AB∥DC，同理AD∥BC
故ABCD是一個平行四邊形．
分析：利用兩個平面垂直的性質：若兩個平面垂直，通過一個平面中的一點垂直于另一個平面的直線在第一個平面內(nèi)；證出四點共面；通過反證法證出四邊形的兩條對邊不能相交即兩對邊平行，命題得證．
點評：本題考查兩平面垂直的性質：若兩個平面垂直，通過一個平面中的一點垂直于另一個平面的直線在第一個平面內(nèi)、反證法在證題中的應用．
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