Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+4，（a∈R）．命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)；命題Q：對任意的x∈R，f（x）＞0恒成立；若P或Q為真，P且Q為假，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x+4
若命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)為真命題
則-≤1，即a≥-3
若命題Q：對任意的x∈R，f（x）＞0恒成立為真命題
則△=（a+1）²-16＜0，即-5＜a＜3
若P或Q為真，P且Q為假，則命題P和命題Q中必然一真一假
當P為真，Q為假時a≥3
當P為假，Q為真時-5＜a＜-3
綜上滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為：（-5，-3）∪[3，+∞）
分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以求出命題P：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)為真命題時，實數(shù)a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)恒成立的充要條件，我們可以求出命題Q：對任意的x∈R，f（x）＞0恒成立為真命題時，實數(shù)a的取值范圍，進而根據(jù)P或Q為真，P且Q為假，我們可得命題P和命題Q中必然一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，命題的真假判斷與應用，其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并由此判斷出命題P和命題Q成立時，實數(shù)a的取值范圍是解答本題的關鍵．