【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex+a(x+2)2(x>0).
(1)若f(x)是(0,+∞)的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng) 時(shí),求證:函數(shù)f(x)有最小值,并求函數(shù)f(x)最小值的取值范圍.

【答案】
(1)解:f'(x)=ex+(x﹣2)ex+2ax+4a,

∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.

∴ex+(x﹣2)ex+2ax+4a≥0,∴ ,

, ,

,∴


(2)解:[f'(x)]′=xex+2a>0,

∴y=f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增又f'(0)=4a﹣1<0,f'(1)=6a>0,

∴存在t∈(0,1)使f'(t)=0

∴x∈(0,t)時(shí),f'(x)<0,x∈(t,+∞)時(shí),f'(x)>0,

當(dāng)x=t時(shí), 且有f'(t)=et(t﹣1)+2a(t+2)=0,

由(1)知 在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞減, ,且

∴t∈(0,1).

,

∴f(1)<f(t)<f(0),﹣e<f(t)<﹣1,

∴f(x)的最小值的取值范圍是(﹣e,﹣1)


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=ex+(x﹣2)ex+2ax+4a,通過f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.得到 ,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及最值求解即可.(2)通過[f'(x)]′=xex+2a>0,數(shù)碼y=f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,利用零點(diǎn)判定定理說明存在t∈(0,1)使f'(t)=0,判斷x=t, ,推出 .即 在t∈(0,+∞)上單調(diào)遞減,通過求解函數(shù)的最值,求解f(x)的最小值的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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②若向量 與向量 互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率e∈[ , ]時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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(1)若f(x)是(0,+∞)的單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng) 時(shí),求證:函數(shù)f(x)有最小值,并求函數(shù)f(x)最小值的取值范圍.

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(1)求通項(xiàng)anSn

(2)設(shè){bnan}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Tn.

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C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
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推銷員編號(hào)

1

2

3

4

5

工作年限/年

3

5

6

7

9

推銷金額/萬(wàn)元

2

3

4

5

6

(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

(2)求年推銷金額關(guān)于工作年限的線性回歸方程;

(3)若第6名推銷員的工作年限為11年,試估計(jì)他的年推銷金額.

,.

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已知公比為整數(shù)的正項(xiàng)等比數(shù)列滿足:

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