Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

（1）求a_n與b_n；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）由題意，據(jù)b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

建立方程

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

即可求得q，d，由公式求a_n與b_n；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．要先求

1

Sn

，根據(jù)其形式要選擇裂項求和的技巧．

解答：解：（1）由已知可得

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

解得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6
∴a_n=3n，b_n=3^n-1
（2）證明：S_n=

n×(3+3n)

2

∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2

3

(1-

1

n+1

)

點評：本題考查等差與等比數(shù)列的綜合，考查了根據(jù)題設條件建立方程求參數(shù)的能力，以及根據(jù)所得的結論靈活選擇方法求和的能力．求解本題的關鍵是對

1

Sn

的變形．