Question

已知ab≠0，求證a+b=1的充要條件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0.

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：先證必要性成立： ∵a+b=1，即b=1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0 再證充分性成立： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0 即(a+b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0. ∴(a+b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 由ab≠0，即a≠0且b≠0， ∴a2－ab＋b2=(a－)2+≠0. 只有a+b=1， 綜上可知，當ab≠0，a+b=1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.