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19.設(shè)P為雙曲線x2a2y2b2=1a0b0右支上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)P為直徑的圓與直線y=ax的一個(gè)交點(diǎn)始終在第一象限,則雙曲線離心率e的取值范圍是( �。�
A.12B.12]C.2+D.[2+

分析 設(shè)P(x0,y0),交點(diǎn)A(xA,yA),求得直線PA的方程,與直線y=ax聯(lián)立求得交點(diǎn)A,若要點(diǎn)A始終在第一象限,需要ax0+by0>0即要ax0>-y0恒成立,討論若點(diǎn)P在第一象限,此不等式顯然成立;只需要若點(diǎn)P在第四象限或坐標(biāo)軸上此不等式也成立.此時(shí)y0≤0,化簡(jiǎn)整理可得a≥b,由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍.

解答 解:設(shè)P(x0,y0),交點(diǎn)A(xA,yA),
由圓的性質(zhì)可得PA與直線y=ax垂直,
lPAyy0=axx0,與y=ax聯(lián)立,
Aaax0+by0a2+b2bax0+by0a2+b2,
若要點(diǎn)A始終在第一象限,需要ax0+by0>0即要ax0>-y0恒成立,
若點(diǎn)P在第一象限,此不等式顯然成立;
只需要若點(diǎn)P在第四象限或坐標(biāo)軸上此不等式也成立.此時(shí)y0≤0,
a2b2x20y20,而y20=b2x20a21,
a2b2b2a2x20b2恒成立,只需a2b2b2a20,即a≥b,
即b2=c2-a2≤a2,
1e2
故e∈12],
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的范圍,注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程組,求交點(diǎn),討論點(diǎn)P所在象限的情況,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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