Question

某商場(chǎng)進(jìn)行促銷活動(dòng)，到商場(chǎng)購(gòu)物消費(fèi)滿100元就可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤為十二等分的圓盤）一次進(jìn)行抽獎(jiǎng)，滿200元轉(zhuǎn)兩次，以此類推（獎(jiǎng)金累加）；轉(zhuǎn)盤的指針落在A區(qū)域中一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)10元，落在B、C區(qū)域中二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)5元，落在其它區(qū)域則不中獎(jiǎng)．一位顧客一次購(gòu)物消費(fèi)268元，
（Ⅰ）求該顧客中一等獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）記ξ為該顧客所得的獎(jiǎng)金數(shù)，求其分布列；
（Ⅲ）求數(shù)學(xué)期望Eξ（精確到0.01）．

Answer 1

分析：（I）該顧客中一等獎(jiǎng)分為以下兩種情況，一是兩次均中一等獎(jiǎng)，二是兩次有且只有一次中一等獎(jiǎng)，由于每次中一等獎(jiǎng)概率為

1

12

，代入相互獨(dú)立事件概率乘法公式，結(jié)合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
（II）由于該顧客可以轉(zhuǎn)兩次，故ξ的可能取值為20，15，10，5，0，分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，即可得到隨機(jī)變量ξ的分布列；
（III）根據(jù)（II）的結(jié)論中隨機(jī)變量ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，即可求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示該顧客中一等獎(jiǎng)
P（A）=

1

12

×

1

12

+2×

1

12

×

11

12

=

23

144

所以該顧客中一等獎(jiǎng)的概率是

23

144

（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為20，15，10，5，0（5分）
P(ξ=20)=

1

12

×

1

12

=

1

144

，P(ξ=15)=2×

1

12

×

2

12

=

1

36

，
P(ξ=10)=

2

12

×

2

12

+2×

1

12

×

9

12

=

11

72

P(ξ=5)=2×

2

12

×

9

12

=

1

4

，
P(ξ=0)=

9

12

×

9

12

=

9

16

（每個(gè)1分）（10分）
所以ξ的分布列為

ξ	20	15	10	5	0
P	1 144	1 36	11 72	1 4	9 16

（10分）
（Ⅲ）數(shù)學(xué)期望Eξ=20×

1

144

+15×

1

36

+10×

11

72

+5×

1

4

≈3.33（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式、離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的期望，其中根據(jù)顧客一次購(gòu)物消費(fèi)268元，計(jì)算出轉(zhuǎn)盤次數(shù)，并給出ξ的可能取值，是解答本題的關(guān)鍵．