Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x，g（x）=15x+a
（1）求f（x）的極值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令f′（x）＜0，解得-1＜x3，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上單調(diào)遞增；在（-1，3）上單調(diào)遞減．
所以x=-1時(shí)取得極大值f（-1）=5，x=3時(shí)取得極小值f（3）=-27．
（2）函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，
即x³-3x²-9x=15x+a有3個(gè)解，也即x³-3x²-24x=a有3個(gè)解，
令h（x）=x³-3x²-24x，則h′（x）=3x²-6x-24=3（x+2）（x-4），
令h′（x）＞0，解得x＜-2或x＞4，令h′（x）＜0，解得-2＜x＜4，
所以h（x）在（-∞，-2），（4，+∞）上單調(diào)遞增，在（-2，4）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=-2時(shí)h（x）取得極大值h（-2）=-8-12+48=28，當(dāng)x=4時(shí)h（x）取得極小值h（4）=64-48-96=-80．
所以-80＜a＜28，即a的取值范圍為（-80，28）．
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0解得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由此可求出函數(shù)極值；
（2）函數(shù)f（x）的圖象與g（x）的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=g（x）有3個(gè)解，也即x³-3x²-24x=a有3個(gè)解，令h（x）=x³-3x²-24x，用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的極大值、極小值，則a取值在極小值與極大值之間，從而得到a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某點(diǎn)x₀取得極值的充要條件是：f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右兩側(cè)異號(hào)．