Question

【題目】如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2,=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若棱AP的中點(diǎn)為H，證明：HE∥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

Answer 1

【答案】解：（1）∵底面ABCD是平行四邊形，AD=AB=2，=0，
∴底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，取AD的中點(diǎn)G，
連接HE，HG，GC，根據(jù)題意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，
則四邊形EHGC是平行四邊形，
所以HE∥GC，HE平面ABCD，GC平面ABCD，
故HE∥平面ABCD
（2）如圖，

取PB的中點(diǎn)M，連接AC，DB交于點(diǎn)F，連接ME，MF，
作FK⊥PB于點(diǎn)K，容易得到∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，
AF=，Rt△PDB～Rt△FKB，易得PK=，
從而tan，所以
由于點(diǎn)M是PB的中點(diǎn)，所以MF是△PDB的中位線，MF∥PD，且MF=，
MF=EC，且MF∥EC，故四邊形MFCE是平行四邊形，則ME∥AC，
又AC⊥平面PDB，則ME⊥平面PDB，ME平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PDB，
所以二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小與直二面角D﹣PB﹣E的大小之和
故二面角A﹣PB﹣E的大小為+=
【解析】（1）取AD的中點(diǎn)G，連接HE，HG，GC，證明四邊形EHGC是平行四邊形，推出HE∥GC，即可證明HE∥平面ABCD．
（2）如圖，取PB的中點(diǎn)M，連接AC，DB交于點(diǎn)F，連接ME，MF，作FK⊥PB于點(diǎn)K，∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通過(guò)Rt△PDB～Rt△FKB，求出 ， 得到二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小與直二面角D﹣PB﹣E的大小之和，求解二面角A﹣PB﹣E的大小。