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11.已知\frac{π}{2}<α<π,0<β<\frac{π}{2},tanα=-\frac{3}{4},cos(β-α)=\frac{5}{13},則sinβ的值為\frac{63}{65}

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα,sinα的值,由角的范圍結(jié)合cos(β-α)=\frac{5}{13}>0,可得范圍:-\frac{π}{2}<β-α<0,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin(β-α),由角關(guān)系β=(β-α)+α,利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值.

解答 解:∵\frac{π}{2}<α<π,tanα=-\frac{3}{4}
∴cosα=-\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}=-\frac{4}{5},sinα=\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\frac{3}{5}
∵0<β<\frac{π}{2},可得:-π<β-α<0,
又∵cos(β-α)=\frac{5}{13}>0,可得:-\frac{π}{2}<β-α<0,
∴sin(β-α)=-\sqrt{1-co{s}^{2}(β-α)}=-\frac{12}{13},
∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=(-\frac{12}{13})×(-\frac{4}{5})+\frac{5}{13}×\frac{3}{5}=\frac{63}{65}
故答案為:\frac{63}{65}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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