Question

14．定義有限數(shù)集A中的最大元素與最小元素之差為A的“長度”，如：集合A₁={1，2，4}的“長度”為3，集合A₂={3}的“長度”為0．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，則U的所有非空子集的“長度”之和為201．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結合集合長度的定義，對集合A的子集分6種情況討論，每種情況下分析符合條件的子集的數(shù)目，進而計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，集合長度的定義，對集合A的子集分類討論：
①、長度為0的子集，共6個：即{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6}，
②、長度為1的子集，必須為兩個元素的集合，且其元素為相鄰的兩個自然數(shù)，共5個：
即{1，2}、{2，3}、{3，4}、{4，5}、{5，6}，
③、長度為2的子集，即子集中最大最小元素差為2，
其中最小、最大元素有4種情況：即1、3，2、4，3、5，4、6；
每種情況有2個子集，
則共有8個子集，
④、長度為3的子集，即子集中最大最小元素差為3，
其中最小、最大元素有3種情況：即1、4，2、5，3、6；
每種情況有4個子集，
則共有12個子集，
⑤、長度為4的子集，即子集中最大最小元素差為4，
其中最小、最大元素有2種情況：即1、5，2、6；
每種情況有8個子集，
則共有16個子集，
⑥、長度為6的子集，即子集中最大最小元素差為5，
其中最小、最大元素有1種情況：即1、6；
則共有16個子集，
則U的所有非空子集的“長度”之和為：6×0+5×1+8×2+12×3+16×4+16×5=201；
故答案為：201．

點評 本題考查排列、組合的應用，涉及集合的子集的定義，關鍵是明確集合長度的定義，進而進行分類討論．