Question

2．已知a，b為正實數(shù)，直線y=x-2a與曲線y=ln（x+b）相切，則$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)切點為（m，n），求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，代入切點坐標，解方程可得n=0，進而得到2a+b=1，消去b，得到a的二次函數(shù)，即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)切點為（m，n），
y=ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{x+b}$，
由題意可得$\frac{1}{m+b}$=1，
又n=m-2a，n=ln（m+b），
解得n=0，m=2a，
即有2a+b=1，即b=1-2a，
則$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（1-2a）^{2}}$
=$\sqrt{5{a}^{2}-4a+1}$=$\sqrt{5（a-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{1}{5}}$，
當a=$\frac{2}{5}$，b=$\frac{1}{5}$時，取得最小值$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查最值的求法，注意運用二次韓寒說的最值求法，同時考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，注意設(shè)出切點，考查運算能力，屬于中檔題．