Question

【題目】在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次拓展．如數(shù)列1，2，經(jīng)過第1次拓展得到數(shù)列1，3，2；經(jīng)過第2次拓展得到數(shù)列1，4，3，5，2；設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次拓展后所得數(shù)列的項數(shù)記為，所有項的和記為．

（1）求，，；

（2）若，求n的最小值；

（3）是否存在實數(shù)a，b，c，使得數(shù)列為等比數(shù)列，若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）10；（3）存在，且.

【解析】

（1）根據(jù)原有的項數(shù)，確定每次拓展增加的項數(shù)，由此求得的值.

（2）根據(jù)拓展的方法，確定和的遞推關(guān)系式，利用配湊法求得的通項公式，解不等式求得的最小值.

（3）根據(jù)拓展的方法，確定和的遞推關(guān)系式，通過假設(shè)成等比數(shù)列，得到且，此時，即數(shù)列為等比數(shù)列.

（1）因原數(shù)列有3項，經(jīng)第1次拓展后的項數(shù)；

經(jīng)第2次拓展后的項數(shù)；

經(jīng)第3次拓展后的項數(shù).

（2）因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，

由數(shù)列經(jīng)第次拓展后的項數(shù)為，則經(jīng)第次拓展后增加的項數(shù)為，

所以，

所以，

由（1）知，所以，∴，

由，即，解得，

所以的最小值為10．

（3）設(shè)第次拓展后數(shù)列的各項為，

所以，

因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加這兩項的和，

所以，

即，所以，

得，，，

因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，可得，

則，由得，

反之，當(dāng)且時，，，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，

綜上，滿足的條件為且.