Question

圓x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P（-1，2），AB為過點(diǎn)P且傾斜角為α的弦，
（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求|AB|；
（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求出直線AB的方程；
（3）設(shè)過P點(diǎn)的弦的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）過點(diǎn)O做OG⊥AB于G，連接OA，依題意可知直線AB的斜率，求得AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離求得OG即圓的半徑，進(jìn)而求得OA的長(zhǎng)，則OB可求得．
（2）弦AB被P平分時(shí)，OP⊥AB，則OP的斜率可知，利用點(diǎn)斜式求得AB的方程．
（3）設(shè)出AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)題意聯(lián)立方程組，消去k求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．

解答： 解：（1）過點(diǎn)O做OG⊥AB于G，連接OA，
當(dāng)α=135°時(shí)，直線AB的斜率為-1，
故直線AB的方程x+y-1=0，
∴|OG|=

|0+0-1|

2

=

2

2

∵r=2

2

，
∴|AG|=

8- 1 2

=

30

2

，
∴|AB|=2|AG|=

30

；
（2）當(dāng)弦AB被P平分時(shí)，OP⊥AB，此時(shí)k_OP=-2，
∵AB為過點(diǎn)P，
∴AB的點(diǎn)斜式方程為y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0
（3）設(shè)AB的中點(diǎn)為M（x，y），AB的斜率為k，OM⊥AB，則

y-2=k(x+1) y=- 1 k x

消去k，得x²+y²-2y+x=0，
當(dāng)AB的斜率k不存在時(shí)也成立，
故過點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-2y+x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運(yùn)用．解題的過程通過代數(shù)的運(yùn)算解決代數(shù)問題，最后翻譯成幾何結(jié)論．