Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且（t-1）S_n=2ta_n-t-1（其中t為常數，t＞0，且t≠1）．
（I）求證：數列{a_n}為等比數列；
（II）若數列{a_n}的公比q=f（t），數列{b_n}滿足b₁=a₁，bn+1=f（b_n），求數列{}的通項公式；
（III）設t=，對（II）中的數列{a_n}，在數列{a_n}的任意相鄰兩項a_k與a_k+1之間插入k個（k∈N^*）后，得到一個新的數列：a₁，，a₂，，，a₃，，，，a₄…，記此數列為{c_n}．求數列{c_n}的前50項之和．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設知（t-1）S₁=2ta₁-t-1，解得a₁=1，
由（t-1）S_n=2ta_n-t-1，得（t-1）S_n+1=2ta_n+1-t-1，
兩式相減得（t-1）a_n+1=2ta_n+1-2ta_n，
∴（常數）．
∴數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列．…（4分）
（Ⅱ）解：∵q=f （t）=，b₁=a₁=1，b_n+1=f （b_n）=，
∴=+1，
∴數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴．…（8分）
（III）解：當t=時，由（I）知a_n=，于是數列{c_n}為：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…
設數列{a_n}的第k項是數列{c_n}的第m_k項，即a_k=，
當k≥2時，m_k=k+[1+2+3+…+（k-1）]=，
∴m₉=-45．
設S_n表示數列{c_n}的前n項和，則S₄₅=[1+++…+]+[-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8]．
∵1+++…+==2-，
-1+（-1）²×2×2+（-1）³×3×3+…+（-1）⁸×8×8=-1+2²-3²+4²-5²+6²-7²+8²
=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）=3+7+11+15=36．
∴S₄₅=2-+36=38-．
∴S₅₀=S₄₅+（c₄₆+c₄₇+c₄₈+c₄₉+c₅₀）=38-+5×（-1）⁹×9=-7．
即數列{c_n}的前50項之和為-7．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可證得數列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數列；
（Ⅱ）確定數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列，可求數列{}的通項公式；
（III）確定數列{c_n}為：1，-1，，2，2，，-3，-3，-3，，…，再分組求和，即可求得數列{c_n}的前50項之和．
點評：本題考查等比數列與等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．