Question

觀察下列等式：
①sin2α=2cosαsinα；②sin3α=（4cos²α-1）sinα；③sin4α=（8cos³α-4cosα）sinα；
④sin5α=（16cos⁴α-12cos²α+1）sinα；⑤sin6α=（32cos⁵α-32cos³α+6cosα）sinα；
⑥sin7α=（64cos⁶α-80cos⁴α+24cos²α-1）sinα；⑦sin8α=（pcos⁷α+mcos⁵α+ncos³α+qcosα）sinα．
可以推測(cè)，m+n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：計(jì)算題,推理和證明

分析：由已知中的前幾個(gè)等式，分析各項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而可得第七個(gè)式子中的系數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：觀察下列等式：
①sin2α=2cosαsinα；
②sin3α=（4cos²α-1）sinα；
③sin4α=（8cos³α-4cosα）sinα；
④sin5α=（16cos⁴α-12cos²α+1）sinα；
⑤sin6α=（32cos⁵α-32cos³α+6cosα）sinα；
…
歸納可得：當(dāng)?shù)仁阶筮叺慕菫閗α?xí)r，
括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)為2^k-1，k=2n時(shí)，則最后一項(xiàng)的系數(shù)為（-1）ⁿ，
k=2n-1時(shí)，最后一項(xiàng)系數(shù)為2n•（-1）ⁿ⁺¹，
各項(xiàng)系數(shù)和為：k，
對(duì)于⑦，sin8α=（pcos⁷α+mcos⁵α+ncos³α+qcosα）sinα．
則p=2⁷=128，q=（-1）⁴=1．且p+m+n+q=8，
則m+n=8-128-1=--121．
故答案為：-121．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．