Question

已知命題p：方程x ²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；q：?x∈R，4x²+4（m-2）x+1＞0；
（1）若p為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：（1）通過p為真，利用判別式即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）通過q為真，利用判別式小于0，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）通過p或q為真，p且q為假，分類討論求出求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）∵方程x ²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
所以△₁=m ²-4＞0，（2分）
∴m＞2或m＜-2，（3分）
∴若p為真，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．（4分）
（2）因?yàn)椴坏仁?x ²+4（m-2）x+1＞0的解集為R，
所以△₂=16（m-2）²-16＜0，（6分）
∴1＜m＜3，（7分）
∴若q為真，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，3）．（8分）
（3）因?yàn)閜或q為真，p且q為假，所以p與q為一真一假，（9分）
（i）當(dāng)p為真q為假時(shí)，

m＞2或m＜-2 m≤1或m≥3

∴m＜-2或m≥3（10分）
（ii）當(dāng)p為假q為真時(shí)，

-2≤m≤2 1＜m＜3

∴1＜m≤2  （12分）
綜上所述得：m的取值范圍是m＜-2或1＜m≤2或m≥3．（14分）

點(diǎn)評：本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．