Question

已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，將△ABD沿正方形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，說(shuō)法不正確的是（　　）

• A、將△ABD沿BD翻轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，直線AC與直線BD都垂直
• B、當(dāng)平面ABD垂直于平面BCD時(shí)，此時(shí)∠ACD=60°
• C、沿BD翻轉(zhuǎn)到某個(gè)位置時(shí)，使得三棱錐A-BCD體積最大值是

  2 a3

  12

• D、沿BD翻轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，三直線“AB與CD”，“AD與BC”，“AC與BD”均不垂直

Answer 1

分析：根據(jù)線面垂直的判定定理性質(zhì)定理可判斷A的正確性；根據(jù)二面角定義及通過(guò)計(jì)算可判斷△ACD為正三角形；易知當(dāng)平面ABD垂直于平面BCD時(shí)，該三棱錐高為OA最大，通過(guò)計(jì)算可求得三棱錐的最大體積；由A中結(jié)論即可判斷D的正確性；

解答：解：如圖所示：

A中，由題意知，BD⊥OA，BD⊥OC，所以BD⊥平面OAC，故BD⊥AC，A正確；
B中，平面ABD垂直于平面BCD時(shí)，∠AOC為二面角A-BD-C的平面角，所以∠AOC=90°，則AC=

2

OA=

2

×

2

2

a=a，又AD=DC=a，所以△ACD為正三角形，故∠ACD=60°，B正確；
三棱錐A-BCD的底面為△BCD，面積為

1

2

a²，易知當(dāng)平面ABD垂直于平面BCD時(shí)，該三棱錐高為OA最大，體積為

1

3

×

1

2

a2×OA=

1

3

×

1

2

a2×

2

2

a=

2

12

a3，C正確；
由A知將△ABD沿BD翻轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)，直線AC與直線BD都垂直，故D錯(cuò)誤；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系及其判定、性質(zhì)，考查學(xué)生空間想象能力．