Question

已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列， 從第5項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求出所有的正整數(shù)m ，使得．

Answer 1

（1）；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）本題是等差、等比混合計(jì)算題目，解題關(guān)鍵是等差數(shù)列和等比數(shù)列的公共項(xiàng)，由等差數(shù)列的定義設(shè)，（為整數(shù)），根據(jù)等比中項(xiàng)列方程得求，進(jìn)而確定等比數(shù)列公比，再寫(xiě)通項(xiàng)公式；（2）本題考查分段數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)，等式同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)，故可采取驗(yàn)證的方法，當(dāng)時(shí)，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得關(guān)于的方程，通過(guò)研究方程解的情況得出結(jié)論．

試題解析：（1） 設(shè)數(shù)列前6項(xiàng)的公差為，則，（為整數(shù)）

又，，成等比數(shù)列，所以，

即，得 4 分

當(dāng) 時(shí)，， 6 分

所以，，數(shù)列從第5 項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為2，

所以，當(dāng)時(shí)，．故 8分

（2）由（1）知，數(shù)列 為：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，

當(dāng)時(shí)等式成立，即；

當(dāng)時(shí)等式成立，即； 10分

當(dāng)時(shí)等式不成立； 12分

當(dāng)時(shí)，，

若，則，所以 14分

，，從而方程無(wú)解

所以 ．故所求或． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比通項(xiàng)公式.