Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（1）若|OA+OC|=，求OB與OC的夾角；
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．

Answer 1

解：（1）∵=（2cosα，sinα），||=
∴（2+cos）²+sin²a=7，
∴cosa=又α∈（0，π），
∴a=，即∠AOC=
又∠AOB=，∴OB與OC的夾角為；
（2）=（cosa-2，sina），=（cosa，sina-2），
∵AC⊥BC，∴=0，cosa+sina=①
∴（cosa+sina）²=，∴2sinacosa=-
∵a∈（0，π），∴，
又由（cosa-sina）²=1-2sinacosa=，cosa-sina＜0，
∴cosa-sina=-②由①、②得cosa=，sina=，
從而tana=-．
分析：（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出；利用向量模的坐標(biāo)公式得到三角函數(shù)方程，求出α；求出兩個(gè)向量的夾角．
（2）利用向量的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)；利用向量垂直的充要條件列出方程求出；利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將此等式平方求出cosα-sinα；求出sinα，cosα；利用三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求出tanα．
點(diǎn)評：本題考查向量模的坐標(biāo)公式、考查向量垂直的充要條件、考查三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．