Question

21.如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P（0,m）（m＞0）作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關(guān)于原點的對稱點.

（Ⅰ）設點P分有向線段所成的比為λ,證明:⊥（－λ）;

（Ⅱ）設直線AB的方程是x－2y+12=0,過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

Answer 1

21.解：

（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m,代入拋物線方程x²=4y得x²－4kx－4m=0.            ①

設A、B兩點的坐標分別是（x₁,y₁）、（x₂,y₂）,則x₁、x₂是方程①的兩根.

所以x₁x₂=－4m.

由點P（0,m）分有向線段所成的比為λ,得=0,即λ=－.

又點Q是點P關(guān)于原點的對稱點，

故點Q的坐標是（0,－m）,從而=（0,2m）.

－λ=（x₁,y₁+m）－λ（x₂,y₂+m）

=（x₁－λx₂,y₁－λy₂+（1－λ）m）.

·（－λ）=2m［y₁－λy₂+（1－λ）m］

=2m［+·+（1+）m］

=2m（x₁+x₂）·

=2m（x₁+x₂）·

=0,

所以⊥（－λ）.

（Ⅱ）由得點A、B的坐標分別是（6,9）、（－4,4）.

由x²=4y得y=x²,y′=x,

所以拋物線x²=4y在點A處切線的斜率為y′|_x=6=3.

設圓C的方程是（x－a）²+（y－b）²=r²,

由

解之得a=－,b=,r²=（a+4）²+（b－4）²=.

所以圓C的方程是（x+）²+（y－）²=,

即x²+y²+3x－23y+72=0.