若x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.
【答案】分析:(1)因為,所以,因此a=16,由此能求出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由(1)知,f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加,在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少,在(3,+∞)上單調(diào)增加,故在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(-1,1),(1,3),(3,+∞),直線y=b與y=f(x)的圖象各有一個交點,由此能求出b的取值范圍.
解答:解:(1)因為,
所以,因此a=16…2分
故 f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞),
…4分
當x∈(-1,1)∪(3,+∞)時,f′(x)>0,
當x∈(1,3)時,f′(x)<0,
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-1,1),(3,+∞),f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)…6分
(2)由(1)知,f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加,
在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少,在(3,+∞)上單調(diào)增加,
所以f(x)的極大值為f(1)=16ln2-9,極小值為f(3)=32ln2-21,…8分
所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(-1,1),(1,3),(3,+∞),
直線y=b與y=f(x)的圖象各有一個交點,
當且僅當f(3)<b<f(1).
因此b的取值范圍為(32ln2-21,16ln2-9).…12分.
點評:本題考查函數(shù)的單調(diào)性的求法,考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x的極值點.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用a表示);
(2)設a>0,g(x)=(a2+8)ex,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<3成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知f(x)=-
12
ax2+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

若x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.

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同步練習冊答案
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