Question

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求的取值范圍；

（3）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）或； （3）滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.

【解析】

試題分析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中

由題意得的方程為:

根據(jù)到直線的距離為,可求得，

將與聯(lián)立即可得到.

（2）設(shè),，由可得，代人橢圓的方程得，即可解得或.

（3）由, 設(shè)，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為，代入橢圓的方程,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,

得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.注意討論，的情況，確定的表達(dá)式，求得實(shí)數(shù)的值.

方法比較明確，運(yùn)算繁瑣些；分類討論是易錯(cuò)之處.

試題解析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中

由題意得的方程為:

因到直線的距離為,所以有,解得 2分

所以有 ①

由題意知: ,即 ②

聯(lián)立①②解得:

所求橢圓的方程為 4分

（2）由(1)知橢圓的方程為

設(shè),，由于,所以有

7分

又是橢圓上的一點(diǎn),則

所以

解得：或 9分

（3）由, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,

所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)當(dāng)時(shí), 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 11分

(2) 當(dāng)時(shí), 則線段垂直平分線的方程為

因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn)

令,得:

于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或. 14分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.