(2011•資陽一模)函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象與y=
13
f′(x)+5x+m
的圖象有三個不同的交點,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在點P,使得過點P的直線若能與曲線y=f(x)圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積相等?若存在,求出P點的坐標;若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)求得函數(shù)的導數(shù),利用函數(shù)在某一點處導數(shù)的幾何意義:f'(2)=-3以及f(2)=5,列方程組求解參數(shù).
(Ⅱ)由(Ⅰ)中得到的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)的圖象與y=
1
3
f′(x)+5x+m
的圖象有三個不同的交點,轉(zhuǎn)化為方程
f(x)=
1
3
f′(x)+5x+m
有三個不相等的實根,進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=f(x)-
1
3
f′(x)+5x+m
的圖象與x軸有三個不同的交點,于是利用函數(shù)導數(shù)可得新函數(shù)g(x)的極值,通過判斷極值的符號可得結(jié)論.
(Ⅲ)根據(jù)函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+3,可知極值點為A(1,7),B(3,3),進而證明線段AB中點P(2,5)在曲線y=f(x)上,且該曲線關于點P(2,5)成中心對稱.
解答:解:(Ⅰ)由題意得f'(x)=3ax2-12ax+3b,f'(2)=-3,
∵圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0.
∴x=2時,y=5,即f(2)=5,
12a-24a+3b=-3
8a-24a+6b+b=5
4a-b=1
-16a+7b=5

解得a=1,b=3,
∴f(x)=x3-6x2+9x+3.(4分)
(Ⅱ)由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9,
1
3
f′(x)+5x+m=
1
3
(3x2-12x+9)+5x+m
=x2+x+3+m,
則由題意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三個不相等的實根,
即g(x)=x3-7x2+8x-m的圖象與x軸有三個不同的交點,g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
則g(x),g'(x)的變化情況如下表.
x (-∞,
2
3
)
2
3
(
2
3
,4)
4 (4,+∞)
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) 極大值 極小值
則函數(shù)f(x)的極大值為g(
2
3
)=
68
27
-m
,極小值為g(4)=-16-m.(6分)
y=f(x)的圖象與y=
1
3
f′(x)+5x+m
的圖象有三個不同交點,則有:
g(
2
3
)=
68
27
-m>0
g(4)=-16-m<0

解得-16<m<
68
27
.(8分)
(Ⅲ)存在點P滿足條件.(9分)
∵f(x)=x3-6x2+9x+3,
∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
由f'(x)=0,得x1=1,x2=3.
當x<1時,f'(x)>0;當1<x<3時,f'(x)<0;當x>3時,f'(x)>0.
可知極值點為A(1,7),B(3,3),線段AB中點P(2,5)在曲線y=f(x)上,且該曲線關于點P(2,5)成中心對稱.
證明如下:
∵f(x)=x3-6x2+9x+3,
∴f(4-x)=(4-x)3-6(4-x)2+9(4-x)+3=-x3+6x2-9x+7,
∴f(x)+f(4-x)=10.
上式表明,若點A(x,y)為曲線y=f(x)上任一點,其關于P(2,5)的對稱點A(4-x,10-y)也在曲線y=f(x)上,曲線y=f(x)關于點P(2,5)對稱.
故存在點P(2,5),使得過該點的直線若能與曲線y=f(x)圍成兩個封閉圖形,這兩個封閉圖形的面積相等.…(12分)
點評:本題考查函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和極值問題,考查了函數(shù)的對稱性,考查了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,綜合性強.
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3
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6
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π
4
π
4

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π
6
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1
2
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π
4
,
π
4
]上的值域.

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