Question

4．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x-2），當(dāng)x∈（1，3）時，f（x）=1+（x-2）²，則（　�。�

• A． f（sin$\frac{2π}{3}$）＞f（sin$\frac{π}{6}$）
• B． f（sin$\frac{2π}{3}$）＜f（cos$\frac{2π}{3}$）
• C． f（cos$\frac{π}{3}$）＞f（cos$\frac{π}{4}$）
• D． f（tan$\frac{π}{3}$）＜f（tan$\frac{2π}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性和單調(diào)性的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：由f（x）=f（x-2）得函數(shù)的周期是2，
∵x∈（1，3）時，f（x）=1+（x-2）²，
則函數(shù)關(guān)于x=2對稱，
∴當(dāng)x∈（1，2）時，函數(shù)單調(diào)遞減，則x∈（2，3）時，函數(shù)單調(diào)遞增，
即當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)單調(diào)遞增，
由f（x）=f（x+2）=f（2-x）=f（-x），
即函數(shù)f（x）同時也是偶函數(shù)，
A．f（sin$\frac{2π}{3}$）＞f（sin$\frac{π}{6}$）等價為f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）＞f（$\frac{1}{2}$），
∵當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴不等式f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）＞f（$\frac{1}{2}$），成立，故A正確，
B．f（sin$\frac{2π}{3}$）＜f（cos$\frac{2π}{3}$）等價為f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）＜f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
∵當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴不等式f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）＜f（$\frac{1}{2}$），不成立，故B錯誤，
C．f（cos$\frac{π}{3}$）＞f（cos$\frac{π}{4}$）等價為f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)單調(diào)遞增，∴不等式f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$），不成立，故C錯誤，
D．f（tan$\frac{π}{3}$）＜f（tan$\frac{2π}{3}$）等價為f（$\sqrt{3}$）＜f（-$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$），則不等式不成立，故D錯誤，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵．