已知點，，動點G滿足．

（Ⅰ）求動點G的軌跡的方程；

（Ⅱ）已知過點且與軸不垂直的直線l交（Ⅰ）中的軌跡于P，Q兩點．在線段上是否存在點，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

（Ⅰ）的方程是．（Ⅱ）存在，實數(shù)m的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，動點G的軌跡是以，為焦點的橢圓，由題設即可得動點G的軌跡的方程.（Ⅱ）要使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，只需即可．設，則，，由得移項用平方差公式得    ①

設直線的方程為，則，，故①式變形為，然后用韋達定理可得一個與的關系式：，由此關系式可看出，這樣的點存在，并由可求出的取值范圍.

另外，由于，所以也可利用得：.

試題解析：（Ⅰ）由，且知，動點G的軌跡是以，為焦點的橢圓，設該橢圓的標準方程為，，

由題知，，則，

故動點G的軌跡的方程是． 4分

（Ⅱ）假設在線段上存在，使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．直線l與軸不垂直，設直線的方程為，，

由可得．

， ． 6分

，，，其中．

由于MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，

所以，則有， 8分

從而，

所以，

又，則，，

故上式變形為， 10分

將代入上式，得，

即，所以，可知．

故實數(shù)m的取值范圍是．                   ..13分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的關系.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

   （1）求點G的軌跡C的方程；

   （2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（12分）已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.  

（1）求點G的軌跡C的方程；   

（2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年成都七中二模理） 已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

   （1）求點G的軌跡C的方程；

   （2）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

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已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足.

   （I）求點G的軌跡C的方程；

   （II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.

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