設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk3=(Sk)3成立.
分析:先由k=1,k=2時,確定首項和公差,再驗證每一組解是否符合題意,從而可以找到符合題意的數(shù)列
解答:解:若等差數(shù)列{an}滿足Sk3=(Sk)3
則當k=1時,有s1=s13,∴a1=0或a1=1或a1=-1
當k=2時,有s8=s2 3,即8a1+
8×7
2
d=(2a1+d)3

(1)當a1=0時,代入上式得d=0或d=2
7
或d=-2
7

①當a1=0,d=0時,an=0,Sn=0
滿足Sk3=(Sk)3
此時,數(shù)列{an}為:0,0,0…
②當a1=0,d=2
7
時,an=2
7
(n-1)
,Sn=
2
7
n(n-1)
2
=
7
n(n-1)

S27(S3)3
∴不滿足題意
③當a1=0,d=-2
7
時,an=-2
7
(n-1)
,Sn=
-2
7
n(n-1)
2
= -
7
n(n-1)

S27(S3)3
∴不滿足題意
(2)當a1=1時,代入上式得d=0或d=2或d=-8
①當a1=1,d=0時,an=1,Sn=n
滿足Sk3=(Sk)3
此時,數(shù)列{an}為:1,1,1…
②當a1=1,d=2時,an=2n-1,Sn=n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時,數(shù)列{an}為:1,3,5…
③當a1=1,d=-8時,an=-8n+9,Sn=n(5-4n)
S27(S3)3
∴不滿足題意
(3)當a1=-1時,代入上式得d=0或d=-2或d=8
①當a1=-1,d=0時,an=-1,Sn=-n
滿足Sk3=(Sk)3
此時,數(shù)列{an}為:-1,-1,-1…
②當a1=-1,d=-2時,an=-2n+1,Sn=-n2
滿足Sk3=(Sk)3
此時,數(shù)列{an}為:-1,-3,-5…
③當a1=-1,d=8時,an=8n-9,Sn=n(4n-5)
S27(S3)3
∴不滿足題意
∴滿足題意的等差數(shù)列{an}有:
①0,0,0…
②1,1,1…
③1,3,5…
④-1,-1,-1…
⑤-1,-3,-5…
點評:本題考查等差數(shù)列通項公式和前n項和的計算,要注意分類討論.屬中檔題
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn
(1)若數(shù)列首項為a1=
32
,公差d=1,求滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k的值;
(2)若Sn=n2,求通項an;
(3)求所有無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn
(1)若首項a1=
32
,公差d=1,滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k=
4
4
;
(2)對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立的所有的無窮等差數(shù)列是
an=0或an=1或an=2n-1
an=0或an=1或an=2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2004•江蘇)設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn
(Ⅰ)若首項a1=
32
,公差d=1.求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年高三數(shù)學(xué)二輪沖刺練習(xí)試卷(08)(解析版) 題型:解答題

設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn
(Ⅰ)若首項a1=,公差d=1.求滿足的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有成立.

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