Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y=8．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切點(diǎn)既在切線上又在函數(shù)f（x）的圖象上，建立一等式關(guān)系，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=2處的導(dǎo)數(shù)，建立另一關(guān)系式，解方程組即可求出a和b的值；
（2）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（1）∵切點(diǎn)（2，f（2））在切線y=8上，又f（2）=8-6a+b，
∴8-6a+b=8，得b=6a，①-------------------------------（2分）
∵f′（x）=3x²-3a，且y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為0，
∴f′（2）=12-3a=0，②---------------------------（4分）
由①②得，a=4，b=6a=24．------------------------------（5分）
（2）∵f（x）=x³-12x+24，∴f′（x）=3x²-12．
令f'（x）=0，則x=-2或2，-----------------------------（8分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		40		8

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-2）和（2，+∞）
單調(diào)減區(qū)間為：（-2，2）．------------------------------------------------（12分）
（3）由（2）得：當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值，為40，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值，為8．-----------------------------（15分）

點(diǎn)評 本題是一綜合題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．