選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，點(diǎn)O是外心，兩條高 BE，CF交于H點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在線段BH，F(xiàn)H上，且滿足BM=CN，求數(shù)學(xué)公式的值．

解：如圖在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性質(zhì)可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性質(zhì)可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四點(diǎn)共圓，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因?yàn)镺B=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因?yàn)椤螧OK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
觀察△OKH，有：=，則KH=OH，
又因?yàn)锽M=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=OH，
故=．…（8分）
分析：在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，由圓周角定理及∠A=60°可得∠BOC=120°，而由重心的性質(zhì)，可得∠BHC=120°，進(jìn)而根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定方法，得到B、C、H、O四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得△BOK≌△COH，根據(jù)正弦定理，我們可得KH=OH，進(jìn)而根據(jù)MH+NH=MH+KM=KH，即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的外心，三角形的垂心，圓內(nèi)接四邊形（四點(diǎn)共圓）的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，其中添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造出全等的三角形，是解答本題的關(guān)鍵．本題輔助線添加方法比較困難，解答過程涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，是平面幾何中的難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點(diǎn)H，HB=2．
（1）求DE的長；
（2）延長ED到P，過P作圓O的切線，切點(diǎn)為C，若PC=2
5
，求PD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，D為PA的中點(diǎn)，
過點(diǎn)D引割線交⊙O于B，C兩點(diǎn)，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交圓O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證：AE2=EF•BE．

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