橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
3
2
,點(diǎn)A是橢圓上的一點(diǎn),且點(diǎn)A到橢圓C兩焦點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P(m,n)(m>0,n>0)為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),直線L:mx+4ny-4=0與圓C′:x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),求三角形OAB面積的最大值及此時(shí)直線L的方程.
(1)由橢圓定義知2a=4,
∴a=2,又e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2
得b=1,
∴所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1.
(2)設(shè)圓心O到直線L的距離為d,則d=
4
m2+(4n)2
,又有
m2
4
+n2=1,
所以d=
4
m2+(4n)2
=
4
4+12n2
,又n∈(0,1],
∴d∈[1,2),
S△OAB=
1
2
|AB|•d=
4-d2
•d=
d2(4-d2)
(
d2+4-d2
2
)
2
=2(當(dāng)d2=4-d2即d=
2
時(shí)S△OAB最大),
∴S△OAB最大值為2,
d=
2
?
4
4+12n2
=
2
,n>0,
∴n=
3
3
,
m2=4-4n2=
8
3
,又m>0,
∴m=
2
6
3

所以直線L的方程為
2
6
3
x+
4
3
3
y-12=0,即x+
2
y-3
6
=0.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)交于P、Q兩點(diǎn),直線l與y軸交于點(diǎn)R,且
.
OP
.
OQ
=-3,
.
PR
=3
.
RQ
,求直線l和橢圓C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直角坐標(biāo)系xoy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,上、下頂點(diǎn)為B2,B1,點(diǎn)P(
3
5
a
,m)(m>0)是橢圓C上一點(diǎn),PO⊥A2B2,直線PO分別交A1B1、A2B2于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓離心率;
(2)若MN=
4
21
7
,求橢圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設(shè)R點(diǎn)是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左焦點(diǎn)為F1(-1,0),右焦點(diǎn)為F2(1,0),短軸兩個(gè)端點(diǎn)為A、B.與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)求證直線l與y軸相交于定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
(3)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在△MF1F2內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線l的斜率的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,0),離心率e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓交于M、N兩點(diǎn),證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4上.

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同步練習(xí)冊答案