Question

7．在矩形ABCD中，以DA所在直線為x軸，以DA中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．已知點B的坐標為（3，2），E、F為AD的兩個三等分點，AC和BF交于點G，△BEG的外接圓為⊙H．
（1）求證：EG⊥BF；
（2）求⊙H的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知A，B，C，F(xiàn)的坐標，進而求得AC和BF的直線方程，聯(lián)立求得焦點G的坐標，進而求得EG，BF的斜率，根據(jù)二者的乘積為-1判斷出EG⊥BF；
（2）求得圓心和半徑，進而求得圓的標準方程．

解答 （1）證明：由題意，A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F(xiàn)（-1，0）．
所以直線AC和直線BF的方程分別為：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3}{5}$，y=$\frac{4}{5}$，
所以G點的坐標為（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
所以k_EG=-2，K_BF=$\frac{1}{2}$，
因為k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
（2）解：⊙H的圓心為BE中點H（2，1），
半徑為BH=$\sqrt{2}$，
所以⊙H方程為（x-2）²+（y-1）²=2．

點評 本題主要考查了直線與直線的位置關系，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．