Question

15．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且B=$\frac{π}{3}$，給出下列命題．
①角A，B，C成等差數(shù)列；
②若a=2c，則△ABC為鈍角三角形；
③若a，b，c成等比數(shù)列，則△ABC為等邊三角形；
④若tanA+tan C+$\sqrt{3}$＞0，則△ABC為銳角三角形；
⑤$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，則3A=C．
其中正確命題的序號是①③④⑤．

Answer 1

分析 ①，結(jié)合內(nèi)角和定理和等差數(shù)列的性質(zhì)，容易求得結(jié)果；
②，利用正弦定理求出，A，C的大小進(jìn)行判斷；
③，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及余弦定理建立方程關(guān)系進(jìn)行判斷；
④，利用兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡判斷，
⑤，利用數(shù)量積的定義將條件變?yōu)槿�角形的邊角關(guān)系，然后進(jìn)行推理化簡．

解答 解：①∵B=$\frac{π}{3}$，∴A+C=π-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$=2B，則角A，B，C成等差數(shù)列；故①正確，
②若a=2c，則由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2c}{sin（\frac{2π}{3}-C）}$，
即2sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC，即$\frac{3}{2}$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC，
則tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則C=$\frac{π}{6}$，則B=π$-\frac{π}{6}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，則△ABC為直角三角形；故②錯誤，
③若a，b，c成等比數(shù)列，則b²=ac，由cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，將該式子中的b²用ac替換，
得$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，即a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，則a=c，則該三角形為等邊三角形，故③正確；
④若tanA+tan C+$\sqrt{3}$＞0，由tanB=-tan（A+C）=-$\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=\sqrt{3}$，整理得tan A+tan C+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}tanAtanC$＞0，
則必有tanA＞0，tanC＞0，故A，C都是銳角，故該三角形為銳角三角形，故④正確，
⑤由$\overrightarrow{AB}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$得c²=bccosA+accosB+abcosC，結(jié)合余弦定理可得c²=b²+a²，故C=90°，得A=30°，所以3A=C．故⑤正確；
故答案為：①③④⑤

點評 本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，涉及三角形中的三角函數(shù)問題以及正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題，要注意轉(zhuǎn)化思想在解題中的作用．