Question

二次函數(shù)f（x）同時滿足下列三個條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為15；（3）f（x）=0的兩根的平方和等于32．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由二次函數(shù)f（x）同時滿足下列兩個個條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為15；可設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．又f（x）=0的兩根的平方和等于32．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出a．

解答：解：由二次函數(shù)f（x）同時滿足下列兩個個條件：（1）f（1+x）=f（1-x）；（2）f（x）的最大值為15；
說明其對稱軸為x=1，拋物線開口向下．
可設(shè)f（x）=a（x-1）²+15（a＜0）．
化為f（x）=ax²-2ax+a+15，
設(shè)f（x）=0的兩個實數(shù)根為x₁，x₂．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

a+15

a

．（*）
∵f（x）=0的兩根的平方和等于32，∴

x

2 1

+

x

2 2

=32．
化為(x1+x2)2-2x1x2=32．
把（*）代入上式得22-2×

a+15

a

=32，解得a=-1．
∴f（x）=-（x-1）²+15=-x²+2x+14．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的對稱性、最值及其零點等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．